Carré magique

Remplissez les cases de la grille ci-dessus avec tous les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres d’une colonne quelconque, celle des chiffres d’une ligne quelconque et celle des chiffres d’une diagonale quelconque soient identiques.

Indiquez alors combien de solutions ce problème possède.

Solution

Quand on regarde les colonnes, lignes et diagonales, on voit que seul le chiffre au centre fait l’objet de 4 sommes (1 colonne, 1 ligne, 2 diagonales), les 4 chiffres dans les coins font l’objet de 3 sommes, et les 4 restants font l’objet de 2 sommes.

Les sommes possibles, égales à 15, sont

1 + 5 + 9

1 + 6 + 8

2 + 4 + 9

2 + 5 + 8

2 + 6 + 7

3 + 4 + 8

3 + 5 + 7

4 + 5 + 6

On voit que seul 5 est utilisé 4 fois, donc 5 est à mettre au centre. 2, 4, 6 et 8 sont utilisés 3 fois, donc ils sont à mettre dans les coins, de telle sorte que les sommes en diagonales fassent 15. Il y a 8 possibilités de telle répartition. 1, 3, 7 et 9 sont à mettre dans les cases restantes.

Pour chacune des 8 possibilités précédentes, il n’y a qu’une seule solution. Il y a donc 8 solutions :