Un cadeau bien mérité

Avant chaque fête de Noël, Rémi demande à son grand-père un cadeau précis. Le jour venu, il doit résoudre une énigme pour pouvoir dépaqueter ce cadeau. Cette fois-ci, Rémi a demandé une montre. Son aïeul lui dit : « Imagine que la montre soit cassée en quatre morceaux et que les heures du cadran soient ainsi séparées les unes des autres. Quelles heures comporteraient les différents morceaux si leurs sommes, morceau par morceau, étaient quatre nombres consécutifs ? »

Solution

Le total des chiffres du cadran est 1 + 2 + 3+ ...+12 = 78. Les morceaux ont des sommes consécutives ; soit x la plus petite de ces sommes. On a donc X + (X + 1) + (X + 2) + (X + 3) = 78, ou

4X +6 = 78

ou encore

X = 18.

Il faut donc former des morceaux dont les sommes respectives sont 18, 19, 20 et 21. 12 et 11 ne peuvent pas être sur le même morceau, car 11+12 =23. 12 ne peut être associé ni avec 10, car 11 serait seul sur un morceau, ni avec 9, car la somme du morceau serait identique à celle du morceau comportant 10 et 11 (21).

L’association de 12 avec 8 n’est pas possible, car 9, 10 ou 11 serait seul sur un morceau. Supposons que 12 soit sur le même morceau que 7 et lui seul (soit une somme de 19). Il y aurait alors un morceau composé de 1, 2, 3, 4, 5 et 6 (de somme 21) et deux morceaux comportant 8, 9, 10 et 11. Mais les sommes 18 et 20 ne pourraient alors être obtenues avec deux morceaux de montre !

De même, on peut constater aisément que l’association de 12 avec 6, 5 ou 4, est impossible. 12 se trouve donc sur le même morceau que 1, 2 et 3, dont la somme correspondante est 18.

Supposons ensuite que 11 soit sur le même morceau que10, d’où une somme de 21 pour ce morceau. On voit qu’il est alors impossible de former 19 et 20 en deux morceaux avec les chiffres restant (9, 8, 7, 6, 5 et 4).
• 9. Alors 10 serait nécessairement seul sur un morceau, ce qui n’est pas possible.
• 8. Alors la somme de ce morceau vaudrait 19, tandis que 10 et 9 se retrouveraient nécessairement sur un autre morceau également de somme 19, ce qui est impossible.
• 7. La somme de ce morceau serait alors identique (18) à celle du morceau comportant le 12, ce qui n’est pas possible.
• 6. La somme de ce morceau vaudrait alors 17 ou un nombre plus grand que 21, ce qui n’est pas possible.
• 5. La somme de ce morceau vaudrait alors au moins 16. Si on ajoute 4, on obtient une somme de 20. Il resterait alors les nombres 6, 7, 9 et 10. Remarquons que 9 + 10 = 19 et que 6 + 7 + 8 = 21, qui sont les deux sommes restant à former.

Les morceaux (9, 10) et (6, 7, 8) sont physiquement possibles ; ils complètent correctement les morceaux (1, 2, 3, 12) et (9, 10).