Glossaire

discret (s’oppose à continu) : qualifie un ensemble dont les éléments sont dénombrables (on peut les numéroter), tel celui des nombres entiers ou rationnels mais pas celui des nombres réels. Un système d’équations discret est, typiquement, un système dans lequel les variables d’espace et de temps n’ont qu’un ensemble dénombrable de valeurs possibles.

linéaire : dont les variables s’ajoutent les unes aux autres avec des coefficients constants. Par exemple, soient deux variables x et y. L’expression y + 2x est linéaire ; 2x / y et x2 – y3 ne le sont pas. Dans une équation linéaire a x = b, l’inconnue x dépend proportionnellement des données a et b. Un phénomène est linéaire s’il varie dans la même proportion qu’une variation des données initiales.

DOSSIER
L'intelligence des Maths

Calcul scientifique

Simuler vite et bien

Christophe BERTHON, Yves COUDIÈRE et Rodolphe TURPAULT, respectivement Professeur et Maîtres de conférences à l’Université de Nantes, chercheurs au Laboratoire de mathématiques Jean-Leray (Université de Nantes/CNRS/École centrale de Nantes)

Retracer la formation de l’Univers, optimiser l’irradiation d’une région du corps en radiothérapie, prévoir les vagues d’un tsunami ou la résistance d’une aile d’avion sont autant de problèmes qui peuvent être décrits par des équations, mais cellesci sont complexes et l’on ne sait pas trouver à la main leurs solutions exactes. Le « calcul scientifique » (numérique) cherche à construire des algorithmes permettant d’obtenir, grâce à l’ordinateur, des approximations suffisantes pour les besoins pratiques.

À titre d’exemple, l’une de nos recherches actuelles trouve une application dans la compréhension de la propagation du « potentiel d’action cardiaque », une modification de l’état des cellules cardiaques responsable des contractions du myocarde et à laquelle correspond une variation du potentiel électrique mesuré sur le thorax par électrocardiogramme (ECG). Il s’agit de simuler les phénomènes électrophysiologiques de façon efficace, c’està- dire suffisamment précise et rapide à la fois, tout en sachant qu’une grande précision est gourmande en temps de calcul.

Une première étape consiste à modéliser (mettre en équations) le fonctionnement des cellules tel que le biologiste le connaît. Le mathématicien effectue ensuite une « homogénéisation » qui vise, grâce à des théorèmes et des techniques éprouvées, à modifier les équations afin de décrire le fonctionnement électrique global du coeur et non plus celui de chacune des milliards de cellules cardiaques (cela serait inefficace même avec les ordinateurs les plus puissants). Nombreuses sont alors les hypothèses à faire et les difficultés à surmonter, par exemple pour traiter le passage du potentiel d’action entre un réseau de fibres « de conduction rapide », représentées avec une seule dimension, et le muscle cardiaque qui, lui, a trois dimensions. La collaboration du biologiste et du mathématicien est nécessaire pour conserver une formulation à la fois adaptée au calcul et correcte d’un point de vue biologique.

La pertinence du modèle dépendra finalement de celle des équations initiales, de celle de leurs transformations et de celle des valeurs choisies pour leurs paramètres.

Des millions d’équations

Le phénomène étudié est maintenant décrit par des équations dont le calcul de solutions approchées est d’autant plus délicat que ces équations sont non linéaires, les erreurs commises étant alors plus difficiles à connaître et à limiter que dans un cas linéaire1. Leurs variables sont le potentiel d’action et l’ECG, deux fonctions de l’espace et du temps. Dans un ordinateur, on les représente par un nombre fini de valeurs sur un « maillage » du coeur et du thorax, une partition constituée de plusieurs millions de polyèdres. À chaque fraction de seconde, chacune de ces valeurs est recalculée en fonction des valeurs des mailles voisines. Il existe différentes façons de définir et d’utiliser ces polyèdres ; une partie de notre travail a consisté à en trouver une qui soit bien adaptée aux équations.

Le modèle original est ainsi transformé en un système discret1 d’équations très nombreuses, nommé « schéma numérique ». Il s’agit alors de vérifier, grâce à des outils mathématiques, les qualités de ce schéma : précision, stabilité dans le temps, respect de certaines quantités (par exemple, les concentrations en ions doivent rester positives), etc. Une dernière étape consiste à programmer, pour ce schéma, une résolution qui minimise les erreurs d’arrondi et le temps ou « coût » du calcul ; d’autres techniques mathématiques sont utilisées pour ce faire. Enfin, des techniques informatiques « de calcul parallèle » permettent de répartir les opérations sur plusieurs processeurs.

Après sa validation, qui consiste à simuler correctement des situations bien connues, le code de calcul résultant nous a récemment permis de confirmer l’hypothèse de nos collègues de l’Institut du thorax2 sur la responsabilité d’une mutation génétique dans un ECG présentant un profil anormal. Ce code reste néanmoins en évolution constante pour intégrer des modèles physiologiques plus réalistes et des méthodes de calcul plus efficaces.

1. Cf. le glossaire ci-contre.

2. Unité mixte de recherche 915 (Inserm/Université de Nantes

Maillage 3D de polyèdres triangulaires pour le calcul des variations du potentiel d’action cardiaque (représenté en couleurs à trois instants différents) © LMJL, UMR 6629

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