Vibrations en triangles
La géométrie spectrale trouve son origine dans la physique
des phénomènes ondulatoires : vibrations sonores, ondes
radio, lumière, etc. Dans de nombreux cas, le système physique
considéré ne peut vibrer qu’à certaines fréquences dites propres
et qui, en acoustique, caractérisent la hauteur du son entendu.
Pour un système donné, il existe une infinité de fréquences
propres, qui constituent le spectre du système. Dans le cas d’une
corde vibrante, le spectre dépend de différents paramètres, dont
la longueur de la corde. Il en est de même pour la membrane d’un
tambour, dont la forme conditionne le spectre.
À chaque fréquence propre sont associés un ou plusieurs modes
de vibration nommés modes propres. On peut visualiser les modes
propres d’une membrane en la saupoudrant, par exemple de sel,
avant de la faire vibrer. Aux fréquences propres, le sel s’accumule
là où le déplacement vertical de la membrane est le plus faible,
dessinant alors des figures de Chladni¹. Le spectre est dit simple
si à chaque fréquence propre ne correspond qu’un seul mode
propre.
Avec Chris Judge (université d’Indiana, USA), nous avons
démontré que presque tous2 les tambours triangulaires ont un
spectre simple. Pour le mathématicien, ce résultat est « beau »
parce que, outre la difficulté rencontrée pour l’établir, il est à la
fois concis et général. cependant, il ne donne aucun moyen de
construire un triangle de spectre simple.
1. Ernst Chladni (1756-1827) est un physicien allemand célèbre pour ses représentations au cours desquelles il faisait vibrer des plaques saupoudrées de
sable.
2. Par analogie, les nombres réels sont « presque tous » irrationnels : un réel choisi au hasard a très peu de chances de s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers.
Représentation de deux modes propres du triangle équilatéral associés à la même fréquence propre Virginie Bonnaillie-Noël et Grégory Vial (ENS/Université Rennes 1)DOSSIER
L'intelligence des Maths
Géométrie spectrale
Explorateurs de formes
Des outils abstraits tels que les distances et les spectres facilitent la description de certains objets ou phénomènes.
Quintique de Taglietti © CNRS Photothèque / Vincent Blanloeil (Irma, UMR 7501)Le plan, le cercle et la sphère sont des
exemples d’espaces modèles où la
distance entre deux points est définie
simplement. De nombreux voyageurs maritimes
ou aériens savent ainsi que la route la plus
courte entre deux points du globe terrestre suit
un arc de grand cercle.
La nature présente en général des espaces
beaucoup moins réguliers : le géoïde1, l’espacetemps
de la relativité (où se propagent les
signaux de nos GPS), les surfaces très plissées
de certains nanomatériaux, etc. Comme les
espaces modèles, ces formes peuvent être
munies de distances (en tant que moyens de
mesure) grâce auxquelles on détermine les
chemins les plus courts, des aires, des volumes...
et qui permettent ainsi de différencier et de
classifier les espaces, d’évaluer la proximité
de leurs parties, d’établir des propriétés
diverses. Par exemple, la relation L2 > = 4pi A
entre l’aire A d’un domaine et la longueur L
de sa circonférence vaut pour les domaines
du plan, alors que ceux de la sphère vérifient2
L2 > = (4pi – A) A et que l’inégalité L2 > = (4pi + A) A
s’applique à des surfaces dites hyperboliques3.
Par ailleurs, l’étude des fonctions définies
sur un espace donné apporte une meilleure
compréhension de cet espace et de ses
propriétés. Un théorème général établit en
effet que connaître toutes les fonctions d’un
espace équivaut à connaître cet espace. Dans
les espaces où se produisent les phénomènes
naturels, ces fonctions peuvent correspondre
à des observables physiques : température,
vitesse, fréquence de vibration, distribution de
la probabilité de présence d’un électron, etc.
Ces observables varient avec la position et le
temps selon des lois décrites par des équations
étudiées parfois depuis plusieurs siècles
celles des ondes vibratoires (D’Alembert, 1747),
de la chaleur (Fourier, 1811), des ondes
quantiques (Schrödinger, 1925)...
Il existe des familles particulières de
fonctions e1 , e2 , e3 ... qui sont des briques
élémentaires de description, dans le sens où
toute fonction f de l’espace étudié en est une
combinaison : f = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 + ... ,
les facteurs A_n étant nommés « amplitudes ».
Par exemple, la description de certaines
ondes emploie les fonctions sinusoïdales
e_n( x ) = sin(w_n x ), où l’ensemble des fréquences
w1 , w2 , w3 ... constitue un « spectre ». La
recherche en géométrie spectrale étudie les
relations entre de telles décompositions et les
propriétés géométriques. La connaissance de
spectres (comme l’ensemble des fréquences w_n
dans l’exemple précédent), qui jouent le rôle de
signatures caractéristiques des objets étudiés4,
permet de mieux appréhender la structure de
ces objets en vue d’applications concrètes.
C’est en particulier sur cette approche que
sont fondés de nombreux procédés de
reconnaissance de formes, notamment en
imagerie5.
1. Surface proche de celle de la mer sur laquelle
l’attraction gravitationnelle terrestre subie par une
masse donnée est constante
2. Il faut faire ici abstraction de la métrique euclidienne
habituelle avec laquelle cette formule ne paraît pas
homogène.
3. Elles servent à modéliser des milieux dans lesquels,
typiquement, on observe des évolutions chaotiques.
4. Ainsi le spectre d’une lumière, un peu à l’image de l’arcen-
ciel pour celle du Soleil, caractérise cette lumière.
5. Cf. aussi Des images bien traitées, et le site "Images de mathématiques pour des compléments divers.