DOSSIER
L'intelligence des Maths

Histoire des mathématiques

Comprendre et prévoir le monde

Platon distinguait deux mathématiques : l’une fondamentale, l’autre appliquée. Comment, depuis lors, cette idée a-t-elle accompagné la mathématisation du monde ?
par Évelyne BARBIN, Professeur, chercheuse au centre François-Viète d’épistémologie et d’histoire des sciences et des techniques (Université de Nantes)
© Getty Images / Comstock

Les traces les plus anciennes de mathématiques datent du second millénaire avant J.-C. Elles portent sur des problèmes simples de mesure de terrain ou de comptage. Des problèmes plus difficiles « de distances inaccessibles » apparaissent au VIe siècle avant J.-C. Par exemple, comment connaître la distance d’un bateau sur la mer ? Comment mesurer la hauteur d’une pyramide ? Comment creuser un tunnel afin qu’il débouche à l’endroit souhaité ? Pour les résoudre, les Grecs raisonnent sur des figures géométriques, qu’ils utilisent aussi en astronomie, comme le cercle dans les représentations des mouvements célestes.

Dans les deux siècles suivants, les raisonnements de la géométrie grecque prennent la forme de démonstrations déductives qui portent sur des figures idéales et qui doivent avant tout convaincre de la vérité des résultats obtenus. Platon oppose alors les mathématiques liées aux activités concrètes à celles qui formulent des spéculations abstraites. Le philosophe proteste notamment contre l’emploi grossier du terme géométrie qui signifie « mesure de la Terre » alors que le but originel de la mathématique ainsi désignée était la contemplation de la vérité. Quant à son élève Aristote, sa « physique » est faite de raisonnements déductifs visant à déterminer les phénomènes de la nature : elle explique que les corps tombent parce qu’ils rejoignent leur « lieu naturel », elle classe les mouvements en « naturels » ou « violents », mais, étant très peu mathématique, elle s’avère complètement inadéquate quand les ingénieurs et les artilleurs des XVIe et XVIIe siècles recherchent l’angle d’inclinaison d’un canon de sorte que le boulet tombe le plus loin possible ou à l’endroit voulu.

Galilée s’intéresse au problème de la portée des canons dans les années 1620. Pour le résoudre, il faut trouver exactement, donc par les mathématiques, la trajectoire d’un projectile. C’est ainsi qu’il renonce à l’explication des phénomènes par leurs causes en faveur de la compréhension mathématique de leurs effets, en recherchant non plus les causes des mouvements mais des « lois », comme celle qui relie le temps de chute et la distance parcourue. Pour lui, le « livre de la nature » est écrit en langage mathématique et il faut connaître ce langage pour comprendre la nature.

Des mathématiques mixtes
Francis Bacon, un contemporain de Galilée, invente le terme de « mathématiques mixtes » pour désigner les outils nécessaires à une science qui vise désormais à rendre l’Homme « maître et possesseur de la nature », comme l’écrit à la même époque René Descartes. De nouvelles mathématiques sont requises dans ce but, et les discours logiques des Grecs sont remplacés par des méthodes de calcul plus propres à éclairer les esprits et à inventer. Qu’il s’agisse de tailler des verres, d’évaluer sur mer une longitude, ou de « maîtriser les hasards » comme l’entreprend Blaise Pascal avec le calcul des probabilités, les mathématiques sont « mêlées » aux préoccupations de l’époque, comme celle de faciliter les commerces lointains et d’en évaluer les risques. Mais les mathématiciens ne négligent pas pour autant les défis abstraits, purement mathématiques, qu’offrent les nombres ou les figures.

La distinction entre mathématiques « pures » et « appliquées » est de mise à partir du XVIIIe siècle. Cependant, elle est peu le fait des mathématiciens eux-mêmes, dont les centres d’intérêt s’avèrent très divers, en particulier dans ce vaste et riche domaine, nommé physique mathématique au XIXe siècle, qui vise à comprendre et prévoir les phénomènes physiques au moyen d’outils mathématiques. Gabriel Lamé est très représentatif des mathématiciens « tout terrain » de cette époque : il s’intéresse aussi bien aux constructions de ponts suspendus, à l’élasticité des matériaux, aux coordonnées curvilignes qu’au fameux problème arithmétique de Fermat. Dans des temps plus proches, ce sont souvent des « mathématiciens purs » qui développent les théories (de logique formelle, des ensembles, des nombres...) utiles à l’essor de l’informatique.

Aujourd’hui comme hier, le double objectif de comprendre et de prévoir le monde nécessite tantôt d’appliquer des mathématiques établies, tantôt d’en créer de nouvelles. La séparation académique actuelle entre « mathématique théoriques » et « mathématiques appliquées » nous ramène au temps de Platon mais ne paraît pas très pertinente à la lumière de l’histoire.

En complément...

La révolution mathématique du XVIIe siècle, É. Barbin (Ellipses, 2006)

• Gabriel Lamé. Les pérégrinations d’un ingénieur du XIXe siècle, Sabix, École Polytechnique, 2009.

• Barbin, Evelyne (éd.), Des défis mathématiques d’Euclide à Condorcet, Paris, Vuibert, 2010.

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