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L'intelligence des Maths

Mathématiques et physique mathématique

Au-delà de l'entendement

Mathématiciens et physiciens ne sont pas toujours « sur la même longueur d’onde » mais il arrive que de grandes avancées naissent de leurs échanges.
par Éric PATUREL et Didier ROBERT, respectivement Maître de conférences et Professeur, chercheurs au Laboratoire de mathématiques Jean-Leray (Université de Nantes/CNRS/École centrale de Nantes)
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L ’astronome Kepler utilisa l’ellipse pour décrire les trajectoires des planètes ; Galilée exprima mathématiquement la chute des corps ; Newton, autre physicien, inventa le calcul différentiel (incluant la notion de dérivée abordée aujourd’hui au lycée) pour décrire les mouvements...

Aujourd’hui maths et physique ne sont plus autant entremêlées qu’aux XVIIe et XVIIIe siècles car les mathématiciens ont développé depuis lors des concepts portant bien au-delà de la description des phénomènes naturels. à leurs yeux, les inventions mathématiques des physiciens, telles les ondes de la mécanique ou de l’optique, sont des objets abstraits parmi d’autres, à comprendre au sein de théories générales. Ainsi, au XXe siècle, le nouveau genre de fonctions utilisé par les physiciens Heaviside et Dirac a permis au mathématicien Laurent Schwartz de concevoir la théorie des distributions, dont les fonctions ne sont que des cas particuliers. Il arrive aussi, inversement, que les maths jouent un rôle précurseur en physique. Einstein, par exemple, n’aurait pas pu écrire la théorie de la relativité générale (où l’espace et le temps apparaissent comme courbés par les masses) sans les géométries non euclidiennes développées par Riemann 60 ans plus tôt et dans lesquelles les distances ne sont pas mesurées par des segments toujours rectilignes.

Les nouveaux outils des physiciens, par exemple ceux dédiés à la description des trous noirs, ont souvent des propriétés énigmatiques pour les mathématiciens car ils sont alors employés dans un cadre théorique incomplet, voire incohérent. Le mathématicien qui s’y intéresse néanmoins contribue à mettre au point de nouvelles mathématiques (sans pour autant « faire de la physique » !). Notre équipe travaille ainsi sur la mécanique quantique, inventée dans les années 1920 par Schrödinger et Dirac pour décrire les comportements probabilistes de la matière à une échelle subatomique. Le fait que les mécaniques quantique (MQ) et classique (MC) ne sont utilisables qu’à des échelles respectives différentes peut être vu comme une faiblesse théorique. Il s’agit donc de savoir comment les formulations de la MC peuvent être des limites (au sens mathématique) de celles de la MQ si l’on fait tendre vers 0 la constante de Planck h, une constante fondamentale mesurée par les physiciens et qui a une valeur très faible (6,6 x10-34 Js). Ce travail progresse mais rencontre de grandes difficultés car les deux formalismes à relier sont très différents.

Des « fantômes supersymétriques »
Un objectif majeur de la physique fondamentale consiste à caractériser toutes les particules de façon cohérente en établissant des liens entre elles. Pour ce faire, dans les années 1930, le physicien Wigner a utilisé des symétries (ce qu’avaient déjà fait Lorentz puis Einstein dans leurs théories relativistes). Grâce à ces opérations mathématiques, il a été possible de mieux rendre compte de la propriété de « spin » (qui, en quelque sorte, caractérise la rotation de la particule sur elle-même) introduite par Pauli et dont les valeurs sont demi-entières (1/2, -1/2, 3/2...) dans la famille des fermions (électron, quark, etc.) et entières (0, 1, 2...) chez les bosons (photon, gluon, etc.). Au début des années 60, d’autres physiciens ont défini une transformation nommée supersymétrie qui associe1 bosons et fermions malgré leurs natures considérées comme très différentes. La réalité physique de cette supersymétrie n’a encore jamais été prouvée expérimentalement. Les physiciens font néanmoins l’hypothèse que l’Univers a perdu son « état supersymétrique » (on parle de « brisure de symétrie ») une fraction de seconde après le Big Bang et qu’un indice tangible de son existence pourrait apparaître lors de collisions de très haute énergie produites dans l’accélérateur LHC du Cern à Genève2.

L’une des questions que les physiciens se posent au sujet de la supersymétrie a été étudiée par l’un de nous avec Andrei Smilga3. Dans les modèles supersymétriques actuels, les valeurs de l’énergie sont toujours positives, mais en existe-t-il un dans lequel l’énergie peut être parfois négative ? Bien qu’on ne sache pas interpréter physiquement un tel cas, cette question nous a conduits à bâtir une théorie dans laquelle apparaissent ce que nous nommons des « fantômes », sortes de particules d’énergie négative. Pour paraphraser Dirac, cette théorie nous semble trop élégante pour ne pas contenir une part de réalité, mais si ces fantômes demeuraient inaccessibles à l’expérimentation, ils pourraient néanmoins constituer une notion utile au physicien. Par analogie, l’invention des nombres complexes (dont le nombre « imaginaire » i défini par i 2 = -1) a pu paraître insensée à certains ; elle a pourtant donné lieu à des méthodes de calcul puissantes !

1. De façon semblable, une symétrie par rapport à une droite lie deux points situés de part et d’autre et à distances égales de cette droite.

2. Cf. Des collisions sans précédent Têtes chercheuses n°14.

3. Chercheur au laboratoire Subatech (École des mines de Nantes/CNRS/Université de Nantes

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