Une discipline citoyenne

En vert, un parcours gagnant : le joueur n°3 tire les cartons « droite », « gauche », « droite », « gauche » et parvient à la case n°3. En rouge, un début de parcours perdant : le joueur n°1 tire le carton « gauche » au premier tour ; il ne peut plus atteindre la case n°1. © RC2C, d'après F. Sauvageot

Sondages, indicateurs, classements... Notre société est constamment analysée à grand renfort de chiffres, de pourcentages, de probabilités. Capables de nous aider à « maîtriser le hasard », les probabilités sont souvent mal interprétées et manipulées comme des certitudes. Les causes de la plupart des phénomènes qui nous entourent ne sont identifiables, en pratique, qu’en termes de probabilités, mais considérer avec prudence une estimation chiffrée en la replaçant dans son contexte résiste mal à notre besoin de déterminisme, qui nous conduit à désigner « le » responsable de tel ou tel fait et qui entraîne la circulation de nombreuses idées fausses.

Par exemple, les palmarès des meilleurs lycées ou hôpitaux de France sont souvent pris pour argent comptant. Or, d’une part, les incertitudes liées à l’évaluation permettent de former seulement trois ou quatre niveaux de qualité significativement différents, à l’intérieur desquels les différences entre établissements ne sont pas discernables ; d’autre part, il existe différentes façons d’évaluer, donc différents classements possibles. Quant aux hôpitaux, le taux de guérison rapporté à l’âge des patients a-t-il été pris en compte ? Pour les lycées, le mode de recrutement des élèves de seconde a-t-il été précisé ? Le classement ne vaut qu’en connaissance des critères choisis pour l’établir, au moment de l’enquête.

L’appréhension des statistiques et des probabilités est l’un des thèmes d’étude du GIS (groupement d’intérêt scientifique) « Climat, environnement, société » auquel je participe. Un travail d’observation y alimente notamment une réflexion sur les moyens de sensibilisation aux difficultés d’interprétation. C’est avec une démarche semblable que j’expérimente des jeux de probabilités auprès d’enfants, en collaboration avec des enseignants. Voici un exemple.

Partant d’une case D située au sommet d’un ensemble triangulaire de cases dessiné sur le sol (cf. ci-contre), chacun des cinq joueurs d’une équipe doit atteindre la case dont le numéro lui a été attribué au hasard (1, 2, 3, 4 ou 5). Pour ce faire, il choisit à chaque tour l’une des mains de l’animateur cachant l’indication « droite » ou « gauche » et avance d’une case selon la direction tirée au sort. Ceux qui parviennent à leur case rapportent cinq chocolats à leur équipe, mais il se peut qu’aucun n'y arrive.

Les probabilités de gain sont inéquitables : 1 chance sur 16 pour les joueurs J1 et J5 (qui doivent respectivement atteindre les cases 1 et 5) ; 4 sur 16 pour J2 et J4 ; 6 sur 16 pour J3. C’est pourquoi un joker permettant d’inverser le résultat d’un tirage est proposé à l’équipe, qui doit alors décider à qui l’attribuer. Spontanément, les enfants le donnent à l’un des plus défavorisés (J1 ou J5) afin de pallier l’injustice, mais dès qu’ils comprennent que ce choix augmente peu la probabilité de gain de J1 ou J5 (5/16), et donc la chance d’obtenir un chocolat, les enfants décident de le donner à J3, dont la probabilité de gain atteint alors 14/16. Lorsqu’on modifie le jeu en donnant les chocolats au joueur qui atteint sa cible et non plus à l’équipe, on observe que la plupart des enfants choisissent de confier le joker à J3 si celui-ci s’engage à partager les chocolats ; s’il ne tient pas sa promesse, l’équipe ne lui donnera plus jamais le joker.

Si je propose volontiers cette mise en situation ludique, c’est parce qu’elle fait appel au sens de la justice et de l’intérêt collectif tout en permettant d’attirer l’attention des jeunes sur le sens des calculs de probabilité.

Un pied dans la recherche

« La science est recherche, exploration, questionnement ; on l’apprend essentiellement en la faisant. » (Noam Chomsky)

Soit une planche avec 4 trous dans lesquels on peut ficher des boulons en guise de patères. Est-il possible d’y enrouler une corde fermée de sorte qu’elle tienne accrochée une fois la planche fixée sur un mur mais qu’elle tombe dès qu’on enlève l’un des boulons ? Voilà l’une des questions que j’ai posées aux collégiens d’un atelier « MATh.en.JEANS »¹.

Pour résoudre ce problème « du porte-manteau de Paolo », les élèves prennent en main l’objet, attribuent une lettre (A, B, C, D) à chaque patère et simplifient le problème : « Et si on commençait avec deux boulons ? ». Ils trouvent des solutions, mais comment les expliquer aux autres ? Ils établissent une méthode pour noter le parcours de la corde... et le sens d’enroulement autour de chaque boulon : A ou A’ pour la patère A, par exemple. Des solutions s’écrivent alors ABA’B’, ABA’B’CBAB’A’C’, etc.

Ce problème a été construit par Paolo Belligeri, spécialiste de topologie et de théorie des noeuds, quand il était en séjour dans notre laboratoire. Le mathématicien averti aura reconnu qu’il s’agit de travailler dans « le groupe fondamental du plan privé de points » et que les solutions sont liées aux « commutateurs » de ce groupe. Loin de ces concepts, certains élèves voient qu’une solution est une suite de lettres telle que la suppression de l’une d’elles, en faisant apparaître des couples XX’ ou X’X ( X désignant A, B, C ou D), entraîne la suppression de toutes les autres. En effet, XX’, qui correspond à un tour dans un sens suivi immédiatement d’un tour du même boulon dans l’autre sens, s’avère inopérant. Par exemple, ABA’B’ est solution car si l’on ôte le boulon B, il reste AA’, qu’on peut supprimer. Les élèves trouvent alors des solutions que la corde trop courte ne permet pas de montrer. Ainsi peuvent-ils mieux saisir qu’abstraire un problème, l’écrire en termes algébriques, permet souvent de le simplifier, de le généraliser et de faciliter les démonstrations.

Créée en 1989, l’association MATh.en.JEANS² propose « de mettre les jeunes aux prises avec d’authentiques problèmes, d’inverser la tendance courante de la classe de mathématiques et d’assigner à l’enseignant un rôle différent ». Pour réaliser un tel atelier, il faut des enseignants enthousiastes³, prêts à l’animer chaque semaine, des élèves prêts à faire des maths hors du cadre de leurs cours et un chercheur qui propose des sujets, encadre quelques séances puis aide les élèves notamment à préparer leur présentation orale. Deux classes travaillent sur les mêmes problèmes afin de pouvoir comparer leurs approches respectives.

Les sujets proposés ne sont pas des exercices dont l’enseignant a toujours la solution. Ils peuvent être ouverts, sans solution certaine ou unique, comme rechercher (avec succès, en l’occurrence) une stratégie gagnante dans le jeu de « la plaque de chocolat toxique »⁴. Les élèves vivent les trois temps de la recherche : chercher, rédiger et communiquer, une présentation finale étant effectuée devant tous les participants lors d’un colloque national (cette année à Grenoble). Mélanie, élève de 3^ème à Couëron, témoigne : « On s’est sentis fiers quand des personnes de tous âges venues de toute la France nous applaudissaient à la fin de notre exposé ... fiers quand elles nous écoutaient avec attention parler de ce que nous avons fait durant l'année ... libres d’oser parler aux professeurs comme nous ne l’aurions sans doute jamais fait au collège. Et surtout, rire avec eux ! ».

1. Cf. les ateliers Maths en jeans

2. Le site de MATh.en.JEANS

3. ici Julie Gastineau, Jean-Philippe Rouquès (collège de la Noë-Lambert à Nantes), Thierry Baron et Michel Billard (collège Paul-Langevin à Couëron)

4. Cf. article ci-dessous

©Thierry Baron

La plaquette de chocolat toxique

Voici l’un des autres problèmes¹ que j’ai proposés aux élèves des collèges Paul-Langevin à Couëron et de la Noë-Lambert à Nantes, dans le cadre d’un atelier Maths en jeans.

Soit une plaquette de chocolat dont le carré situé en bas à gauche est empoisonné. Chacun des deux joueurs doit choisir, l’un après l’autre, un carré de chocolat et prend alors tous les carrés situés en haut et à droite de ce morceau. Existe-t-il une stratégie gagnante, c’est-à-dire qui évite de se trouver contraint de prendre le carré toxique ? Dépend-elle du nombre de carrés de chocolat de la plaquette ? Des résultats généraux connus sont « Il existe une stratégie gagnante » et « Le joueur qui commence possède un avantage ». Après avoir beaucoup joué entre eux, les élèves ont trouvé par eux-mêmes les deux résultats suivants : avec une plaquette carrée (ayant le même nombre de carrés de chocolat au-dessus et à droite du carré toxique), quel que soit le nombre de carrés de chocolat qu’elle possède, le joueur qui commence peut gagner systématiquement en prenant le carré situé immédiatement à droite et au-dessus du carré toxique.

’’Cas d’une plaquette carrée comportant 9 carrés de chocolat" Les chiffres indiquent l’ordre des coups : 1, 3 et 5 pour le premier joueur (J1) ; 2, 4 et 6 pour le second (J2). La couleur verte indique les carrés pris par J1 ; le bleu indique ceux pris par J2. J1 ayant d’abord choisi le carré central, J2 se retrouve contraint, au troisième tour, de prendre le carré toxique ; il a alors perdu.