Al-Kindi casse le code de César

Jean-François BOUHOURS, Directeur de recherche honoraire à l’Université de Nantes

Depuis l’aube des temps civilisés se pose le problème de la confidentialité des messages administratifs, diplomatiques ou militaires1. Jules César, en 45 avant notre ère, cryptait les siens en utilisant un alphabet décalé : « alea jacta est » s’écrit « bmfb kbdub ftu » avec un décalage d’une position, ou « fqjf ofhyf jxy » avec un décalage de 5 positions. Ce principe étant simple, le déchiffrage est aisé pour qui connaît la clé de chiffrement (le décalage utilisé). Pour un ennemi de César, « casser » le code consistait à essayer tous les décalages possibles jusqu’à ce que le message soit découvert.

Par la suite, un raffinement a consisté à utiliser un alphabet désordonné ou un ensemble de signes non alphabétiques. Le décryptage est alors devenu plus difficile bien que les codes fussent toujours basés sur la substitution mono-alphabétique (l’échange d’une lettre avec une lettre ou un signe). C’est alors, au IXe siècle, qu’Al-Kindi2, philosophe, astronome, musicien et mathématicien à la cour de Bagdad, publie un Traité sur le déchiffrement des messages cryptographiques. Il fait remarquer que, dans une langue donnée, chaque lettre de l’alphabet apparaît avec une fréquence particulière. On peut donc classer les lettres selon leurs fréquences décroissantes d’emploi usuel dans cette langue. Si l’on observe ensuite les fréquences des signes d’un message crypté à partir de cette même langue, leur classement selon un ordre décroissant permettra de faire correspondre ces signes avec les lettres de l’alphabet normal de façon suffisamment correcte pour être capable de lire le message en clair. La traduction sera d’autant plus exacte que le message sera long.

Le décryptage par analyse fréquentielle3 d’Al-Kindi a ainsi rendu peu sûr l’emploi du code de César en Orient. Cette invention ne sera connue ou redécouverte en Europe que par les mathématiciens de la Renaissance.

1. Histoire des codes secrets, de Simon Singh (Le Livre de Poche, 2001)

2. cf. Article sur Al-Kindi dans Wikipedia

3. cf. Article sur l'Analyse fréquentielle dans Wikipedia

DOSSIER
L'intelligence des Maths

Prenons du recul

Dépasser l'intuition

propos recueillis par O.N.d.S.
François Laudenbach ONdS

Que signifie « faire des maths » ?

François LAUDENBACH : Au travers de l’histoire des mathématiques et de la philosophie, on peut penser d’abord à la démarche consistant à mettre en formules les structures et les règles qui sous-tendraient l’Univers et ses phénomènes, ou tout au moins à se munir d’un ensemble d’outils permettant de décrire efficacement les phénomènes et de les prévoir. De mon point de vue, « faire des maths », c’est aussi exercer une activité intellectuelle qui structure la pensée et ouvre l’esprit.

Dans ma jeunesse, j’ai été séduit par le jeu de l’abstraction et du raisonnement logique, par les résultats puissants que les maths permettent d’obtenir. J’ai acquis rapidement le goût de faire partager ce que je comprenais. À l'École polytechnique, j’ai reçu l’enseignement de Laurent Schwartz. Ce grand mathématicien m’a fait prendre conscience de ma vision alors trop figée des maths, comme celle d’une boîte à outils à peu près complète. Or non seulement elles sont définitivement incomplètes, par essence même, mais elles offrent aussi un champ de problèmes, en partie hérités de l’histoire, auxquels s’attaquer est une aventure passionnante. Établir une propriété d’un objet géométrique, reformuler une théorie de façon plus simple ou élargir les conditions de validité d’un théorème sont en effet des sources d’intense satisfaction.

L’activité mathématique n’est pas réservée au chercheur : tout un chacun peut la pratiquer. Quand on apprend les mathématiques, on travaille aussi à son propre profit, on s’enrichit grâce à la démarche d’abstraction qui consiste à représenter symboliquement des objets. En effaçant l’inutile, cette représentation facilite le raisonnement et rend applicable son résultat à d’autres situations. Peu importe qu’une formule ou sa démonstration vue en cours ne serve ensuite jamais en pratique : ce cours offre en lui-même une expérience à sa propre logique ; il invite à ne pas s’en remettre au hasard ; il aide à distinguer une condition nécessaire d’une condition suffisante, à se préserver un peu plus des contradictions et des erreurs. Je rapproche volontiers les maths du droit, parce que le juriste doit aussi se confronter en permanence à des problèmes de logique et cheminer parmi des contradictions.

Sur l’importance de l’abstraction je raconte souvent ceci : un étudiant m’a dit un jour « je ne peux pas m’attaquer à ce problème parce que je ne le vois pas ». Chercher seulement la solution de ce qu’on « voit », est-ce vraiment utile ? Certes oui, pour transmettre à ceux qui ne « voient » pas, mais faire des maths, c’est surtout aller au-delà de l’intuition. Les maths commencent vraiment là où l’intuition lâche prise.

Doit-on distinguer différents types de mathématiques ?
F. L. : Oui. D’une part, on distingue les mathématiques fondamentales, dites parfois « pures », des mathématiques appliquées. À condition de ne pas mettre de hiérarchie, cette distinction a un sens. Il n’y a pas une unique façon de faire des maths.

En mathématiques fondamentales, il s’agit souvent de déterminer l’existence d’une solution ou le nombre de solutions d’un problème donné, de travailler sur des objets mal connus ou d’en inventer. Ces objets sont des ensembles, des formes géométriques, des fonctions, des équations... et l’on cherche à décrire leurs propriétés1. En mathématiques appliquées, les objets d’étude sont là devant nous, dans la nature, plus ou moins bien cernés, avec toute l’irrégularité ou la complexité qui font le propre des problèmes concrets. On cherche à utiliser des outils bien maîtrisés pour entreprendre des calculs inédits, pour développer des méthodes de calcul plus rapides ou plus précises.

C’est une erreur, parfois commise dans notre communauté même, de vouloir évaluer les activités de ces deux branches à la même aune. L’impact d’un « mathématicien appliqué » ne se mesure pas au nombre de ses théorèmes, mais à ses gains en temps de calcul, à la justesse de son évaluation d’un risque, etc.

D’autre part, il existe une multitude de thèmes qui sont distingués par la nature des objets manipulés : ensembles, nombres, processus, opérateurs... Disons par exemple deux mots des deux grands domaines que sont l’analyse et la géométrie. De façon schématique, l’analyse porte sur la connaissance des fonctions, qui, selon une vision classique, associent des valeurs à des variables, et sur la résolution précise d’équations (que celles-ci représentent ou non des phénomènes réels). La géométrie, quant à elle, est une approche plus descriptive, plus qualitative : elle s’attache à la forme des objets (que ces objets soient observables ou non dans la nature) en cherchant à déterminer leurs nombres d’intersections, d’angles, de trous, de bosses, de plis...

Il est passionnant que des chemins de traverse viennent néanmoins briser un découpage thématique trop cloisonné. C’est ce que fait, par exemple, la théorie des singularités (les points d’un objet qui ne ressemblent pas à leurs voisins). Cette théorie, qui concentre aujourd’hui de nombreuses recherches très actives, porte en effet sur des domaines aussi différents que la géométrie algébrique, les équations différentielles ou les caustiques en optique2

Pourquoi a-t-on besoin des mathématiciens ?
F. L. : Dans l’enseignement, il s’agit à la fois d’acquérir des méthodes utiles dans la vie quotidienne ou pour étudier d’autres disciplines, et de développer ses capacités d’abstraction, donc de raisonnement ; le « matheux » est ainsi bien placé pour défendre la raison contre l’obscurantisme et les préjugés. Dans les sciences et les techniques, il s’agit de maîtriser des outils de calcul et d’en développer de nouveaux. Faire des mathématiques est ainsi indispensable à l’innovation technologique.

À ces arguments j’ajoute quelques remarques. Il semble exister aujourd’hui un désintérêt pour les sciences, voire une défiance visà- vis d’elles, en particulier envers les mathématiques, sans doute parce qu’on les juge trop difficiles. Il est vrai qu’elles sont ardues et exigeantes, mais cela n’est pas nouveau. Il me semble aussi que le mathématicien est perçu comme étant rigide, sûr de lui, prétendant connaître le certain et l’impossible dans un monde pourtant peu maîtrisé, ponctué de catastrophes que certains avaient prétendu prévisibles en invoquant le progrès scientifique. Cette perception est mauvaise. Le bon mathématicien doute. Il doute quant à la validité de ses démonstrations. De fait, comme il n’écrit jamais tous les détails de son raisonnement, des erreurs ou des manques peuvent subsister entre les lignes, sans pour autant que le résultat final soit faux. Par exemple, la démonstration du fameux « grand théorème de Fermat »3 publiée en 1993 comportait un « trou » (bouché depuis lors). Ainsi la vérité est-elle sujette à caution même en maths.

Avec la multitude des objets non encore décrits, des problèmes demeurant non résolus (ou mal résolus) et des questions apportées par d’autres disciplines comme la physique théorique, le champ des mathématiques et de ses applications inattendues4 n’est pas en voie de rétrécissement. Enfin, que serait l’enseignement des maths sans la recherche ? Un ennui pour les enseignants, parce que sans les questions en suspens et leurs histoires respectives, sans nouveauté et sans possibilité d’avancées, leur motivation profonde s’éteindrait, et cet ennui, cette nécrose intellectuelle, gagnerait définitivement les bancs des universités comme ceux des écoles.

1. Cf. la géométrie spectrale, Le site Images de mathématiques et l'article de Lei Tan (Université d’Angers),

2. Lieux d’accumulation de lumière, qu’on peut observer, par exemple, lorsque le rayonnement solaire traverse un verre ou l’eau d’une piscine. Autre exemple de singularité, en géométrie algébrique : les points « de rebroussement », tel celui du graphe de l’équation x 2 – y 3 = 0.

3. Si n est un entier strictement supérieur à 2, il n’existe pas de nombres x, y et z entiers non nuls tels que x n + y n = z n. Cf. l'article Le théorème de Fermat : huit ans de solitude

4. Par exemple, les premiers procédés de cryptographie moderne ont été inventés à partir de questions en théorie des nombres qui paraissaient gratuites.
Un procédé datant du IXe siècle est présenté dans "Al-Kindi casse le code de César", de Jean-François Bouhours, ci-contre.

En complément...

• Entretien avec François Laudenbach, Le magazine des élèves de l'Ecole polytechnique, X-passion n°16, 4ème trimestre 1996, p. 35-38.

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