Glossaire
déterministe : qui suit un principe « de cause à effet » et dont, de ce fait, l’évolution serait prédictible de façon certaine si les conditions initiales étaient toutes connues parfaitement.
aléatoire ou stochastique : non prédictible certainement. Une variable aléatoire X désigne une variable dont l’évolution peut être décrite par une loi de probabilité. Une telle loi permet d’estimer, entre autres choses, la valeur moyenne de X et la probabilité que X ait une valeur dans un intervalle donné. Par exemple, les résultats d’un lancer de dé ou la position d’un électron suivent des lois de probabilité, alors que la loi de la gravitation newtonienne permet de faire des prédictions certaines (en théorie, sans tenir compte de l’incertitude sur les conditions initiales).
Exemple de graphe d’un mouvement brownien
© É. Gobert (Images des mathématiques, 2004) ; RC2C...
DOSSIER
L'intelligence des Maths
Probabilités
Des aléas à prévoir
Nombre de phénomènes, comme
l’évolution d’une population d’insectes
ou la diffusion de particules solides dans un
milieu liquide, sont difficiles à prévoir parce
qu’ils dépendent de plusieurs facteurs de
manière très sensible. Il est néanmoins
possible, parfois, de connaître les évolutions
les plus probables.
La théorie des probabilités concerne de vastes
champs de recherche en mathématiques
fondamentales qui se nourrissent souvent
de questions soulevées par ses applications
en physique, en biologie, en économie,
etc. Les processus de Markov (PM) sont
des objets essentiels et communs à la
plupart de ces applications parce qu’ils
sont adaptés à la description de nombreux
phénomènes aléatoires (cf. Mots de maths).
Contrairement aux fonctions plus classiques
dites déterministes, un PM n’associe pas à une
variable t une expression qui dépend de t de
façon explicite ; de plus, l’évolution aléatoire ou
« stochastique » de son graphe après t dépend
uniquement de sa valeur en t. L’exemple le plus
célèbre de PM est le mouvement brownien,
dont les propriétés sont explorées depuis un
siècle environ. Son graphe très perturbé est dit
autosimilaire : son aspect général ne dépend
pas de l’échelle à laquelle on le représente.
Certains phénomènes chaotiques comme les
mouvements des molécules de gaz ou ceux
d’actifs financiers ont, dans une certaine
mesure, une allure semblable ; c’est pourquoi
ils sont modélisés par des mouvements
browniens.
Préserver les pommiers
Les « processus de naissance et mort »
constituent un autre exemple de PM
couramment étudié, à la fois comme objet
mathématique et pour ses applications. Ils
servent en particulier à l’étude de la dynamique
des populations1. Dans le cas où une population
comporte n sous-populations en compétition
les unes avec les autres, le processus
généralement employé, nommé « processus
de compétition », est un PM qui, à chaque
valeur du temps t (chaque jour, par exemple),
associe n valeurs ( X1,..., Xn), où Xi est l’effectif
de la sous-population numéro i ( i =1, 2... ou n).
À chaque instant, Xi peut croître ou diminuer
de 1, rendant ainsi compte d’une naissance ou
d’une mort. Des mutations peuvent aussi se
produire : un individu de type i devient de type j
( Xj augmente de 1 ; Xi diminue de 1).
Il est ainsi possible, par exemple, de mieux
comprendre l’évolution des effectifs du
champignon Venturia inaequalis, responsable
de la tavelure du pommier, dans une
exploitation horticole (à chaque variété de
ce champignon, plus ou moins virulente pour
les pommiers, correspond un effectif Xi).
Dans la lutte contre la tavelure, il importe de
connaître le « temps d'émergence » d’une
variété virulente (moment à partir duquel
la population de pommiers sera envahie
de manière irrémédiable) ou, au contraire,
de prévoir le temps d’extinction de cette
variété. Ce problème a ouvert un nouveau
champ d’investigations sur les processus de
compétition. En particulier, nos travaux ont
permis de déterminer la loi de probabilité du
temps d’émergence. Comme application de ce
résultat, il est possible de calculer la probabilité
que l’émergence d’une variété donnée ait lieu
après une date fixée et d’estimer ainsi la durée
de résistance d’un pommier à cette variété.
En pratique, cette durée dépend de différents
paramètres (caractères génétiques de
résistance du pommier, effets de compétition
et fréquences de mutation des variétés du
champignon...). Notre collaboration avec une
équipe angevine de biologistes2, qui étudie
ces paramètres, devrait ainsi permettre de
sélectionner des variétés de pommiers et d’en
créer de nouvelles dont la résistance globale
à Venturia inaequalis sera accrue.
1. Le terme dynamique indique que l’évolution des
effectifs étudiés dépend de ces mêmes effectifs.
2. Équipe « Écologie évolutive de pathosystèmes fongiques », UMR « Pathologie végétale » (Inra Angers- Nantes/Agrocampus Ouest/Université d’Angers)
Pommes atteintes par la tavelure © Bruno Le Cam (EcoFun, Inra-Angers)Gérer le risque financier
Les mathématiques financières visent à optimiser des dépenses sujettes à des pertes ou profits imprévisibles.Les pêcheurs qui doivent acheter du
gas-oil sont très exposés au risque de
forte hausse du prix des carburants ; ils ont
donc intérêt à souscrire une assurance contre
ce risque. De même, quand une entreprise
envisage d’acheter à terme un produit à
l’étranger, elle se prémunit contre le risque
de change monétaire. Aujourd’hui, dans
notre société, il n’y a plus guère d’institution
(État, entreprise, collectivité, etc.) qui ne
prenne une décision cruciale sans démarche
scientifique préalable consistant à évaluer,
via des calculs de probabilité, les risques liés
à cette décision puis à s’en protéger
méthodiquement. À cet égard,
les mathématiques financières
(« maths-phi ») offrent des
instruments de rationalisation
des décisions économiques
dont le rendement (le gain ou
la perte qui en découle) est
soumis à une part d’imprévu.
Des assurances en primes
À titre d’exemple, prenons le cas
d’une entreprise européenne E
qui possède des fonds en
euros et qui, en juillet 2011,
prévoit d’acheter en
décembre 2011 une
machine au Japon, en
yens. La valeur de l’euro
fluctue par rapport à celle
du yen. Au 1er juillet, E sait
combien de yens vaut un euro,
par exemple 100 (ce rapport r est
nommé parité). Si r baisse de 100 à 90
entre juillet et décembre, la machine coûtera à
E davantage d’euros que prévu en juillet dans
son budget ; c’est le risque de change. E prend
donc une assurance contre une éventuelle
chute de r : elle paie en juillet une prime P à un
courtier qui lui garantit r = 100 en décembre.
En décembre, si un euro vaut moins de
100 yens, par exemple 90, E effectuera
comme prévu la transaction auprès du courtier
en lui achetant 100 yens pour chaque euro
à dépenser, et c’est le courtier qui paiera le
supplément S correspondant à 10 yens pour
chaque euro dépensé par E. En revanche, si
r est supérieur à 100, l’entreprise E achètera
des yens directement sur le marché des
devises pour acquérir sa machine ; elle aura
ainsi dépensé moins d’euros que prévu en
juillet. C’est là le principe de la plupart des
« assurances risques ».
L’équité en calculs
Le rôle des maths-phi dans ce principe est de
permettre d’évaluer équitablement la prime P.
« Équitablement » signifie ici que pour une
échéance donnée (5 mois, en l’occurrence)
P ne doit pas être élevée au point de ne pas
trouver preneur mais ne doit pas non plus être
basse au point que le courtier soit presque
certain de perdre de l’argent dans l’opération
( S étant alors supérieur à P ).
Cette évaluation requiert d’établir les lois de
probabilité des pertes respectives de E et du
courtier. Pour ce faire, on écrit un modèle sous
forme de relation entre r, P et S, dans laquelle
r est une variable aléatoire (cf. article ci-dessus) dont
les variations avec le temps sont inconnues a
priori mais dont l’irrégularité est néanmoins
fixée en connaissance des variations de parité
généralement observées. Cette relation est
une « équation différentielle stochastique
rétrograde dans le temps » (EDSR), dont on
fixe la condition terminale (et non la condition
initiale comme dans la plupart des problèmes
modélisés par des équations différentielles) :
en effet, le courtier cherche typiquement
à obtenir une valeur de P en juillet à partir
d’une somme S fixée qu’il aurait à débourser
en décembre.
Nos travaux sur les EDSR consistent à améliorer
les méthodes de résolution et surtout à élargir
les cas d’application possibles. Dans le cas
présent, en général le courtier investit P
dans différents placements selon
des critères auxquels correspond
une « fonction d’utilité ». Cette
fonction fu exprime le rapport
entre le niveau de risque de
perte auquel le courtier consent
et les chances de gain espéré1.
Jusqu’à récemment, on savait
résoudre l’EDSR correspondante
seulement lorsque fu était
linéaire (cf. Simuler vite et bien), un
cas très limité au regard
des attitudes effectives
face au risque financier.
Nos travaux ont permis
de prendre en compte
un type d’attitude plus
fréquent, pour lequel fu
présente des variations
dites exponentielles.
Enfin, quant à l’impact
des maths-phi, celles-ci
ont été incriminées dans la
crise financière de 2008, dite « des
subprimes ». Certes, en tant qu’outils, il peut
arriver que leurs applications soient perverties
par ceux qui les utilisent, comme ont pu l’être
celles d’autres disciplines scientifiques telles
que la physique et la chimie. Veut-on pour
autant arrêter la recherche et l’innovation
dans ces disciplines ? Les avancées des
maths-phi permettent de minimiser maintes
dépenses, et d’autres domaines que celui
des assurances en bénéficient, par exemple
pour estimer la valeur d’un puits de
pétrole ou celle d’un brevet d’exploitation.
À ce titre, elles sont avant tout au service de la
vie économique et sociale.
1. Cf. Quand la finance s’emmêle, Têtes chercheuses n°9.
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