Glossaire

déterministe : qui suit un principe « de cause à effet » et dont, de ce fait, l’évolution serait prédictible de façon certaine si les conditions initiales étaient toutes connues parfaitement.

aléatoire ou stochastique : non prédictible certainement. Une variable aléatoire X désigne une variable dont l’évolution peut être décrite par une loi de probabilité. Une telle loi permet d’estimer, entre autres choses, la valeur moyenne de X et la probabilité que X ait une valeur dans un intervalle donné. Par exemple, les résultats d’un lancer de dé ou la position d’un électron suivent des lois de probabilité, alors que la loi de la gravitation newtonienne permet de faire des prédictions certaines (en théorie, sans tenir compte de l’incertitude sur les conditions initiales).

Exemple de graphe d’un mouvement brownien

© É. Gobert (Images des mathématiques, 2004) ; RC2C

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DOSSIER
L'intelligence des Maths

Probabilités

Des aléas à prévoir

Loïc CHAUMONT, Professeur, chercheur au Larema, Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Université d’Angers/CNRS)

Nombre de phénomènes, comme l’évolution d’une population d’insectes ou la diffusion de particules solides dans un milieu liquide, sont difficiles à prévoir parce qu’ils dépendent de plusieurs facteurs de manière très sensible. Il est néanmoins possible, parfois, de connaître les évolutions les plus probables.

La théorie des probabilités concerne de vastes champs de recherche en mathématiques fondamentales qui se nourrissent souvent de questions soulevées par ses applications en physique, en biologie, en économie, etc. Les processus de Markov (PM) sont des objets essentiels et communs à la plupart de ces applications parce qu’ils sont adaptés à la description de nombreux phénomènes aléatoires (cf. Mots de maths). Contrairement aux fonctions plus classiques dites déterministes, un PM n’associe pas à une variable t une expression qui dépend de t de façon explicite ; de plus, l’évolution aléatoire ou « stochastique » de son graphe après t dépend uniquement de sa valeur en t. L’exemple le plus célèbre de PM est le mouvement brownien, dont les propriétés sont explorées depuis un siècle environ. Son graphe très perturbé est dit autosimilaire : son aspect général ne dépend pas de l’échelle à laquelle on le représente. Certains phénomènes chaotiques comme les mouvements des molécules de gaz ou ceux d’actifs financiers ont, dans une certaine mesure, une allure semblable ; c’est pourquoi ils sont modélisés par des mouvements browniens.

Préserver les pommiers
Les « processus de naissance et mort » constituent un autre exemple de PM couramment étudié, à la fois comme objet mathématique et pour ses applications. Ils servent en particulier à l’étude de la dynamique des populations1. Dans le cas où une population comporte n sous-populations en compétition les unes avec les autres, le processus généralement employé, nommé « processus de compétition », est un PM qui, à chaque valeur du temps t (chaque jour, par exemple), associe n valeurs ( X1,..., Xn), où Xi est l’effectif de la sous-population numéro i ( i =1, 2... ou n). À chaque instant, Xi peut croître ou diminuer de 1, rendant ainsi compte d’une naissance ou d’une mort. Des mutations peuvent aussi se produire : un individu de type i devient de type j ( Xj augmente de 1 ; Xi diminue de 1).

Il est ainsi possible, par exemple, de mieux comprendre l’évolution des effectifs du champignon Venturia inaequalis, responsable de la tavelure du pommier, dans une exploitation horticole (à chaque variété de ce champignon, plus ou moins virulente pour les pommiers, correspond un effectif Xi). Dans la lutte contre la tavelure, il importe de connaître le « temps d'émergence » d’une variété virulente (moment à partir duquel la population de pommiers sera envahie de manière irrémédiable) ou, au contraire, de prévoir le temps d’extinction de cette variété. Ce problème a ouvert un nouveau champ d’investigations sur les processus de compétition. En particulier, nos travaux ont permis de déterminer la loi de probabilité du temps d’émergence. Comme application de ce résultat, il est possible de calculer la probabilité que l’émergence d’une variété donnée ait lieu après une date fixée et d’estimer ainsi la durée de résistance d’un pommier à cette variété.

En pratique, cette durée dépend de différents paramètres (caractères génétiques de résistance du pommier, effets de compétition et fréquences de mutation des variétés du champignon...). Notre collaboration avec une équipe angevine de biologistes2, qui étudie ces paramètres, devrait ainsi permettre de sélectionner des variétés de pommiers et d’en créer de nouvelles dont la résistance globale à Venturia inaequalis sera accrue.

1. Le terme dynamique indique que l’évolution des effectifs étudiés dépend de ces mêmes effectifs.

2. Équipe « Écologie évolutive de pathosystèmes fongiques », UMR « Pathologie végétale » (Inra Angers- Nantes/Agrocampus Ouest/Université d’Angers)

Pommes atteintes par la tavelure © Bruno Le Cam (EcoFun, Inra-Angers)

Gérer le risque financier

Les mathématiques financières visent à optimiser des dépenses sujettes à des pertes ou profits imprévisibles.
par Saïd HAMADÈNE, Professeur, chercheur au LMM, Laboratoire manceau de mathématiques (Université du Maine)

Les pêcheurs qui doivent acheter du gas-oil sont très exposés au risque de forte hausse du prix des carburants ; ils ont donc intérêt à souscrire une assurance contre ce risque. De même, quand une entreprise envisage d’acheter à terme un produit à l’étranger, elle se prémunit contre le risque de change monétaire. Aujourd’hui, dans notre société, il n’y a plus guère d’institution (État, entreprise, collectivité, etc.) qui ne prenne une décision cruciale sans démarche scientifique préalable consistant à évaluer, via des calculs de probabilité, les risques liés à cette décision puis à s’en protéger méthodiquement. À cet égard, les mathématiques financières (« maths-phi ») offrent des instruments de rationalisation des décisions économiques dont le rendement (le gain ou la perte qui en découle) est soumis à une part d’imprévu.

Des assurances en primes
À titre d’exemple, prenons le cas d’une entreprise européenne E qui possède des fonds en euros et qui, en juillet 2011, prévoit d’acheter en décembre 2011 une machine au Japon, en yens. La valeur de l’euro fluctue par rapport à celle du yen. Au 1er juillet, E sait combien de yens vaut un euro, par exemple 100 (ce rapport r est nommé parité). Si r baisse de 100 à 90 entre juillet et décembre, la machine coûtera à E davantage d’euros que prévu en juillet dans son budget ; c’est le risque de change. E prend donc une assurance contre une éventuelle chute de r : elle paie en juillet une prime P à un courtier qui lui garantit r = 100 en décembre.

En décembre, si un euro vaut moins de 100 yens, par exemple 90, E effectuera comme prévu la transaction auprès du courtier en lui achetant 100 yens pour chaque euro à dépenser, et c’est le courtier qui paiera le supplément S correspondant à 10 yens pour chaque euro dépensé par E. En revanche, si r est supérieur à 100, l’entreprise E achètera des yens directement sur le marché des devises pour acquérir sa machine ; elle aura ainsi dépensé moins d’euros que prévu en juillet. C’est là le principe de la plupart des « assurances risques ».

L’équité en calculs
Le rôle des maths-phi dans ce principe est de permettre d’évaluer équitablement la prime P. « Équitablement » signifie ici que pour une échéance donnée (5 mois, en l’occurrence) P ne doit pas être élevée au point de ne pas trouver preneur mais ne doit pas non plus être basse au point que le courtier soit presque certain de perdre de l’argent dans l’opération ( S étant alors supérieur à P ).

Cette évaluation requiert d’établir les lois de probabilité des pertes respectives de E et du courtier. Pour ce faire, on écrit un modèle sous forme de relation entre r, P et S, dans laquelle r est une variable aléatoire (cf. article ci-dessus) dont les variations avec le temps sont inconnues a priori mais dont l’irrégularité est néanmoins fixée en connaissance des variations de parité généralement observées. Cette relation est une « équation différentielle stochastique rétrograde dans le temps » (EDSR), dont on fixe la condition terminale (et non la condition initiale comme dans la plupart des problèmes modélisés par des équations différentielles) : en effet, le courtier cherche typiquement à obtenir une valeur de P en juillet à partir d’une somme S fixée qu’il aurait à débourser en décembre.

Nos travaux sur les EDSR consistent à améliorer les méthodes de résolution et surtout à élargir les cas d’application possibles. Dans le cas présent, en général le courtier investit P dans différents placements selon des critères auxquels correspond une « fonction d’utilité ». Cette fonction fu exprime le rapport entre le niveau de risque de perte auquel le courtier consent et les chances de gain espéré1. Jusqu’à récemment, on savait résoudre l’EDSR correspondante seulement lorsque fu était linéaire (cf. Simuler vite et bien), un cas très limité au regard des attitudes effectives face au risque financier. Nos travaux ont permis de prendre en compte un type d’attitude plus fréquent, pour lequel fu présente des variations dites exponentielles. Enfin, quant à l’impact des maths-phi, celles-ci ont été incriminées dans la crise financière de 2008, dite « des subprimes ». Certes, en tant qu’outils, il peut arriver que leurs applications soient perverties par ceux qui les utilisent, comme ont pu l’être celles d’autres disciplines scientifiques telles que la physique et la chimie. Veut-on pour autant arrêter la recherche et l’innovation dans ces disciplines ? Les avancées des maths-phi permettent de minimiser maintes dépenses, et d’autres domaines que celui des assurances en bénéficient, par exemple pour estimer la valeur d’un puits de pétrole ou celle d’un brevet d’exploitation. À ce titre, elles sont avant tout au service de la vie économique et sociale.

1. Cf. Quand la finance s’emmêle, Têtes chercheuses n°9.

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