Des images bien traitées

Nous avons presque tous déjà eu l’occasion de manipuler un système de géolocalisation tel que Google Maps ou Géoportail. Ce type de service disponible via Internet permet de visualiser des images aériennes, depuis l’échelle d’un continent jusqu’à celle d’une rue. Pour pouvoir « zoomer », il exploite la fonctionnalité de « graduabilité » ou « scalabilité » du système, définie comme la capacité de transporter, dans un seul flux de données binaires, plusieurs niveaux de qualité du signal. Quand ce signal contient les attributs de couleur ou les niveaux de gris des pixels d’une image, le flux comporte d’abord une couche de base dont le décodage permet un affichage avec une faible résolution, puis viennent des couches supplémentaires dont les décodages respectifs augmentent le niveau de détail de l’image affichée. C’est ainsi qu’il est possible à la fois de zoomer sans perdre en qualité graphique et d’éviter que le logiciel informatique utilisé traite toutes les données disponibles si cela n’est pas nécessaire.

L’opération lors de laquelle sont réalisées différentes couches de qualité d’une image est une « compression » (le standard de compression d’images le plus récent est JPEG2000), et la première opération effectuée sur les données d’une image pour en faire un flux graduable est la « transformation en ondelettes ».

Des grilles d’ondelettes
Au début du XIXe siècle, Joseph Fourier a inventé le principe de décomposition d’une fonction en une infinité de fonctions sinusoïdales élémentaires (cf. Explorateurs de formes). Cette « transformée de Fourier » permet de décrire tout signal comme une somme d’ondes : les fréquences, les phases et les amplitudes de ces ondes caractérisent le signal¹. Cette représentation est cependant insuffisante pour décrire utilement des signaux comportant des changements brusques (par exemple, les forts contrastes d’une image, tels que les contours d’un objet photographié). Elle permet de repérer, avec une précision plus ou moins grande, les différentes valeurs d’intensité lumineuse et les couleurs qui existent dans une image mais pas de connaître leurs distributions spatiales, parce que les ondes élémentaires de Fourier sont définies sur l’espace tout entier.

En revanche, les ondelettes, inventées par Jean Morlet dans les années 1970, sont des objets mathématiques qui oscillent, comme les fonctions de Fourier, mais qui sont définies à un endroit précis de l’espace (sur un « support » dont la largeur est inversement proportionnelle à la fréquence d’oscillation). Elles permettent ainsi de décrire une image sur plusieurs niveaux de résolution tout en y localisant les changements. L’autre intérêt de leur emploi est de permettre de réduire la taille de l’information numérique manipulée (le nombre de bits) en la structurant (en particulier, si une zone ne présente pas de variation, l’information stockée ne portera que sur les bords de cette zone) et en éliminant les détails inutiles parce qu’ils ne seront pas visibles.

S’adapter à l’oeil humain
Nos travaux portent notamment sur la façon d’utiliser, dans des algorithmes de traitement d’images, une transformation en ondelettes selon un procédé dit « de complexité faible », qui nécessite moins de calculs et d’espace en mémoire que les procédés déjà utilisés. Un type de procédé récemment obtenu, nommé « lifting », a ouvert la voie à l’utilisation d’une famille d’objets mathématiques, les « X-lettes », dont les ondelettes sont des cas particuliers, et qui peuvent être adaptés à une description d’image plus efficace qu’avec les ondelettes.

Par exemple et de façon privilégiée, nous cherchons actuellement à adapter la représentation des images par des X-lettes aux caractéristiques du système visuel humain. L’idée directrice est de mieux comprendre, en s’appuyant sur des données expérimentales, comment la perception visuelle humaine traite les détails des signaux perçus (comment elle favorise ou ignore certains contrastes ; quelle est sa sensibilité à l’orientation des contours...), puis de traduire ce traitement en termes d’X-lettes appropriées afin d’améliorer le rapport entre qualité perçue et rapidité d’exécution du traitement informatique.

1. Ainsi peut-on, par exemple, analyser le spectre d’une lumière, comme celle d’une étoile.