Quel âge ai-je ?

Voici un problème posé à un certificat d’études primaires en 1928.

J’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.
Quand vous aurez l’âge que j’ai, ensemble nous aurons 98 ans.
Quels sont nos âges respectifs ?

Solution

Solution arithmétique :

Première manière de procéder :

Posons sur une droite, de gauche à droite, quatre points O, C, B, A tels que

le segment OA soit de longueur proportionnelle à l’âge que j’ai ;

le segment OB soit de longueur proportionnelle à l’âge que vous avez ;

le segment OC soit de longueur proportionnelle à l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.

« J’ai 3 fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez » : OA=3 OC.

« Et notre différence d’âge est constante » : CB = BA, donc B est au milieu de CA.

Comme

OC = OA/3, CA = 2 OA/3 = CB + BA = 2 CB = 2 BA,

alors CB= BA = OA/3 = OC.

« Quand vous aurez, l’âge que j’ai, ensemble nous aurons 98 ans ».

Quand vous aurez l’âge que j’ai (OA), j’aurai OA + BA, et ensemble nous aurons donc

2 OA + BA = 6 OC + BA = 7 OC = 98 ans.

Donc

l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez est OC = 98/7 = 14 ans ;

l’âge que j’ai : OA = 3 OC = 42 ans ;

l’âge que vous avez : OB = OC + CB = 2 OC = 28 ans.

Seconde manière de procéder

Représentons sur une droite figurant l’axe du temps les points successifs A, B, C, D, de sorte que A soit ma date de naissance ;

B soit votre date de naissance ;

C soit la date à laquelle j’avais l’âge que vous avez aujourd’hui ;

D soit aujourd’hui.

Il s’ensuit que AC = BD, ou que la différence de nos âges respectifs CD est égale à mon âge à votre naissance AB.

Comme « j’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez » (BC = AD/3), alors AB + CD = AD – BC = AD – AD/3 = 2 AD/3,

et puisque AB = CD, on a AB = CD = AD/3 = BC.

« Quand vous aurez, l’âge que j’ai, ensemble nous aurons 98 ans »…

Quand vous aurez l’âge que j’ai (AD), j’aurai AD + AB ans, et ensemble nous aurons

2 AD + AB = 6 AB + AB = 7 AB = 98 ans.

Donc

l’âge que j’avais à votre naissance est AB = 98/7 = 14 ans. Comme AB = BC, l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez, BC = 14 ans ;

l’âge que j’ai est AD = 3 AB = 42 ans ;

l’âge que vous avez est BD = BC + CD = 2 AB = 28 ans.

Solution algébrique :

Selon l’indice, on a d’abord D = A – B.

Ensuite, « l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez » définit l’âge de l’interlocuteur du narrateur moins la différence d’âge qui existe entre eux. Ainsi, « j’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez » peut être écrit mathématiquement A = 3(B – D).

Enfin, « quand vous aurez l’âge que j’ai » correspond à un délai de D années au bout duquel l’interlocuteur aura A ans, et le narrateur A + D ans. Ainsi, « quand vous aurez l’âge que j’ai, ensemble nous aurons 98 ans » peut être écrit A + (A + D) = 98.

On obtient donc le système suivant :
D = A – B
A = 3(B – D)
2A + D = 98
qui équivaut à

D = A – B
A = 3(B – A + B)
2A + A – B = 98
qui équivaut à

D = A – B
A = 6B – 3A
3A – B = 98
qui équivaut à

D = A – B
4A = 6B
B = 3A – 98
qui équivaut à

D = A – B
A = 3B/2
B = 3A – 98
qui équivaut à

D = A – B
A = 3B/2
B = 9B/2 – 98
qui équivaut à

D = A – B
A = 3B/2
7B = 196
qui équivaut à

D = A – B
A = 3B/2
B = 28
qui équivaut à

D = 3B/2 – B
A = 42
B = 28
qui équivaut à

D = 14
A = 42
B = 28

Le narrateur a donc 42 ans, et son interlocuteur en a 28.

Jean-François Bouhours a rédigé les 2 solutions arithmétiques