Inès, Pedro et les deux chats persans

Inès et Pedro vont dans une animalerie avec leur père pour choisir un chat. En arrêt devant deux magnifiques persans, Pedro demande au vendeur :

« Euh... Monsieur, quels âges ont-ils, ces chats-ci ? »

Le vendeur prend deux petits papiers et écrit discrètement quelque chose sur chacun d’eux avant de les plier et de répondre :

« Vous pouvez peut-être deviner. Ils ont chacun au moins un an. Tiens, Pedro, le nombre que j’ai écrit sur ce papier correspond au produit de leurs âges respectifs. Inès, sur celui-là, j’ai indiqué leur somme. Regardez ces nombres mais ne vous les communiquez pas l’un à l’autre. Si vous trouvez la solution, je ferai une réduction de 50 % à votre papa. »

Les deux enfants ouvrent leurs papiers respectifs puis Pedro dit :

« Moi, je ne sais pas.

– Eh bien, moi non plus, réplique sa soeur.

– Ah bon ? demande Pedro. Dans ce cas, j’ai deviné !

– Alors, moi aussi, j’ai trouvé !!! jubile Inès. L’un a 1 an ; l’autre en a 4.

– Bravo ! s’exclame le vendeur. Vous êtes sacrément fortiches, tous les deux ! »

Comment Pedro et Inès ont-ils pu, l’un après l’autre, deviner les âges des chats ?

Solution

Si Pedro ne peut trouver d’emblée la solution, c’est que le produit P des deux âges n’est ni 1 ni un nombre premier. En effet, par définition, un tel nombre n’a que deux facteurs : 1 et lui-même. Si P avait été premier, Pedro aurait conclu que les deux âges sont 1 an et P ans. Inès comprend cela. De plus, elle connaît la somme S des deux âges mais elle a dit ne pas être capable de deviner d’emblée la solution. Pedro sait donc, comme Inès, que S ne vaut ni 2 (ils auraient trouvé tous deux 1 an pour les deux chats), ni 3 (P vaudrait nécessairement 2 qui est un nombre premier), ni 4 parce que P vaudrait nécessairement 3 (un nombre premier) ou 4 (et dans ce cas Inès aurait trouvé la solution : 2 ans pour les deux chats). Inès sait donc que P est supérieur ou égal à 4 et Pedro sait que S est supérieur ou égal à 5 mais si l’histoire s’arrêtait là, personne ne pourrait faire de déduction supplémentaire. Lorsque Pedro annonce connaître désormais la solution, Inès comprend qu’elle lui a nécessairement fourni un indice crucial, un détail qui a permis à son frère d’exclure toutes les décompositions possibles de P en couples de facteurs, sauf une. Or une telle exclusion a été faite : celle du couple (2, 2) dont le produit (4) n’est pas un nombre premier et qui a pour seul autre couple de facteurs possible (1, 4). Si Pedro a trouvé, c’est donc que P vaut 4 (Inès connaissant S, elle pourrait lever tout doute éventuel à ce sujet). Inès est ainsi capable d’annoncer à son tour la solution : 1 an et 4 ans.