L'œil géomètre

Un effet de bords

Extrayez d’une feuille à petits carreaux un carré de 8 cm de côté puis découpez-le en quatre morceaux : deux triangles rectangles identiques dont les côtés perpendiculaires font respectivement 8 et 3 cm de long ; deux quadrilatères identiques dont les côtés perpendiculaires ont des longueurs respectives de 5, 5 et 3 cm.

Déplacez et accolez ces morceaux selon la seconde figure, en rouge ci-dessous.

La surface couverte par les quatre morceaux du carré n’est-elle pas de 64 (8x8) cm2 ? Si, bien évidemment. Or, une fois accolés ces éléments selon la nouvelle disposition, ne forment-ils pas un rectangle de 13 cm (5+8) sur 5 cm, qui a une surface de 65 (13x5) cm2 ?

Il semble ainsi possible de montrer géométriquement que 65 égale 64 ! Si vous êtes convaincu(e) qu’il y a une erreur, il vous reste à la trouver.



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Solution

Les quatre éléments ne s’accolent pas parfaitement. Cela n’est pas évident « à l’œil nu », mais la trigonométrie permet de le démontrer.

En effet, dans le triangle de gauche, ci-dessous, l’angle alpha est déterminé par le rapport A/B = 5/8 (alpha = arctg (5/8), qui fait à peu près 32°). Dans le triangle vert de la figure de droite, l’angle bêta est déterminé par le rapport C/D = 3/5 (bêta = arctg(3/5), qui vaut à peu près 31°). La pente du triangle étant ainsi différente de celle du quadrilatère, les 4 morceaux ne peuvent s’accoler parfaitement bord à bord ; il reste un espace entre eux, dont la surface mesure 1 cm2… parce que 65 – 64 = 1.

Les angles alpha et bêta étant différents, les quatre éléments ne peuvent s’accoler parfaitement.

Il s’agit donc bien d’une entourloupe !

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